اعداد در ریاضیات

اعداد در ریاضیات انواع مختلفی دارند که به اختصار بعضی موارد در اینجا بیان شده است.

اعداد طبیعی

اعداد طبیعی، اعدادی هستند که برای شمردن به کار می‌روند. مجموعه اعداد طبیعی {… ,۳ ,۲ ,۱   { است.

در این مجموعه عدد صفر وجود ندارد و با اضافه کردن آن، مجموعه اعداد حسابی به وجود می‌آید. این مجموعه یک مجموعه نامتناهی است.

در ریاضیات، مجموعه اعداد طبیعی را با نماد   N نمایش می‌دهند. این حرف از آغاز واژه انگلیسی Natural، به معنای طبیعی، گرفته شده است.

اعداد گنگ اعداد اصم

اعداد گنگ، یا اعداد اصم، اعدادی حقیقی هستند که گویا نباشند، یعنی نتوان آن‌ها را به صورت کسری که صورت و مخرجش عدد صحیح باشند نوشت. مجموعه اعداد گنگ مجموعه‌ای ناشمارا است ولی می‌توان اعداد گنگ را روی محور اعداد نمایش داد کار بسیار ساده ایی است کافی است هندسه را در ریاضیات مورد استفاده قرار دهیم . امتحان کنید میتوان از رابطه فیثاغورث استفاده کرد.

اعداد اول

اعداد اول اعدادی طبیعی هستند که بر هیچ عددی بجز خودشان و عدد ۱ بخش‌پذیر نباشند. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمی‌گیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگ‌تر از ۱ اول نباشد مرکب است.

عدد یکان اعداد اول بزرگ‌تر از ۱۰ فقط ممکن است اعداد ۱، ۳، ۷، ۹ باشد.

اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها به دست نیاورده است.

سری اعداد اول به این صورت شروع می‌شود:

۲ ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹ …

اعداد جبری

اعداد جبری در ریاضیات اعدادی هستند که جواب معادله‌ای به شکل زیر باشند:

a_n x _n + a_n−۱x_n−۱ + ··· + a₁x₁ + a₀ = 0

ضریب‌های a₀ تا a_n   در این معادله چند جمله‌ای اعداد گویا هستند.

تمام اعداد گویا اعداد جبری هم هستند. بعضی از اعداد حقیقی عدد جبری نیستند. عددی که جبری نباشد عدد متعالی (یا غیرجبری) نامیده می‌شود.

اعداد گویا

اعداد گویا حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر یکدیگرست، به شرطی که عدد دوّم (مقسوم علیه) صفر نباشد. به بیان دیگر، هر عدد گویا را می‌توان به شکل a/b   یا آ بیم نوشت (که  a و b  اعداد صحیح‌اند).

در ریاضیات، مجموعه اعداد گویا را، عموماً، با  Q نمایش می‌دهند. به عنوان مجموعه‌ای شمارا (یا قابل شمارش)، ولی نامتناهی، مجموعه­ ی اعداد گویا، خود، زیر مجموعه‌ ای‌ ست چگال (dense  ) از مجموعه ­ی  بزرگ‌تر و عمومی تر اعداد حقیقی.

اعداد صحیح

مجموعه­ی اعداد صحیح به اجتماع مجموعه­ی اعداد طبیعی، قرینه­ی  اعداد طبیعی ،  مجموعه ای که تنها عدد صفر عضو آن است گفته می شود. در ریاضیّات، معمولاً این مجموعه را با Z   یا ( ابتدای کلمه آلمانی  Zahlen به معنی اعداد) نشان می­ دهند. همانند مجموعه­ی اعداد طبیعی، مجموعه­ی اعداد صحیح نیز یک مجموعه­ی شمارای نامتناهی­ست.

شاخه­ ای از ریاضیّات که به مطالعه­ ی اعداد صحیح می ­پردازد، نظریه ی اعداد نام دارد.

خواص جبری

همانند اعداد طبیعی، نیز نسبت به دو عمل جمع و ضرب بسته است. این بدان معناست که حاصل جمع و حاصل ضرب دو عدد صحیح، خود، یک عدد صحیح است. بر خلاف مجموعهٔ اعداد طبیعی، از آنجا که اعداد صحیح منفی، و به ویژه، عدد صفر هم به تعلق دارند، این مجموعه، نسبت به عمل تفریق نیز بسته است. اما تحت عمل تقسیم بسته نیست، زیرا خارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح، لزوما عددی صحیح نخواهد بود.

برخی از خواصّ اساسی مربوط به عملیّات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانیده شده است (در اینجا  b  ،a ، و c   اعداد صحیح دلخواه هستند)

جمع ضرب

بسته بودن:

a + b   یک عدد صحیح است a × b یک عدد صحیح است

شرکت پذیری:

a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c

تعویض پذیری:

a + b = b + a a × b = b × a

وجود یک عنصر واحد:

a + 0 = a a × ۱ = a

وجود یک عنصر عکس:

a + (−a) = 0

توزیع پذیری:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

نداشتن مقسوم علیه­ های صفر:

اگر ab = 0، آنگاه a = 0   یا b = 0

مطابق جدول بالا، خواصّ بسته بودن، شرکت پذیری و جابه جایی (یا تعویض پذیری) نسبت به هر دو عمل ضرب و جمع، وجود عضو همانی (واحد، یا یکّه) نسبت به جمع و ضرب، وجود عضو مجموعه­ی فقط نسبت به عمل جمع، و خاصیّت توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع از اهمیت برخوردارند.

اعداد مرکب

عدد مرکب عددی طبیعی بجز یک است که اول نباشد.

پانزده عدد مرکب اول عبارت‌اند از:

۴, ۶, ۸, ۹, ۱۰, ۱۲, ۱۴, ۱۵, ۱۶, ۱۸, ۲۰, ۲۱, ۲۲, ۲۴ و ۲۵

قانون برای تمام اعداد مرکب وبزرگ ‌تر از ۵ ( فقط ۴ از این قاعده پیروی نمی‌کند) صدق می‌کند.

اعداد حقیقی

مجموعه اعداد حقیقی که با  R نمایش داده می شود و شامل کلیه ی اعداد صحیح,گویا,طبیعی و حسابی و همچنین شامل R-Q   است که اعدادگنگ یا اصم می باشد می شود.

اعداد مختلط

دد مختلط عددی به فرم   a + bi است که در آن a   و b   از اعداد حقیقی و i   عدد موهومی برابر با ریشه ی دوم عدد ۱  – است.

اعداد مختلط از کجا آمدند

همان طور که می دانید یک معادله درجه دو مثل ax² + bX + c = 0   در اعداد حقیقی وقتی که

= b² − ۴ac

مقداری منفی باشد گوئیم جواب ندارد.این یعنی اداد حقیقی شمول همه اعداد نیست پس اعداد مختط تعریف شدد. عدد مختلط   a + bi را می‌توان به این صورت نوشت. برای اینکه مفهوم اعداد مختلط را نتوجه شوید ،ابتدا باید با اعداد مختلط آشنایی کامل داشته باشید. عداد مختلط: می خواهیم معادله را حل کنیم.این معادله درمجموعه های دارای جواب نیست. برای اینکه هیچ عددی بتوان  ۲ و به علاوه ۱ صفر نمی شود.همچنین اگرعددی به توان زوج برسد،غیرممکن است که علامت آن منفی شود.«با به پشت مساوی بردن معلوم معادله می بینیم که مجهول عددیست که به توان رسیده ومنفی شده که محال است».اما باید گفت که اعداد را با علامت دیگری غیر از+و- شان میدهیم؛ آن علامت شامل اعداد مختلط و متناهی می شود. در اعداد متناهی این قانون هست که عددی با بتوان زوج رسیدن منفی هم بشود.این اعداد رابا علامت نشان می دهند. برای یک عدد حقیقی،عدد متناهی را به صورت زیر نشان میدهند:

اعدادی راکه دارای علامت i  هستند را موهومی می گوئیم. پس باتوجه به مطالب فوق دریافته ایدکه:جواب معادله درمجموعه ی اعداد متناهی دارای دو جواب است: i,+i-  اعداد متناهی: به نظر شما اگر دلتای معادله ی درجه دومی منفی بودچطور می توان ریشه معادله موردنظر را پیداکرد؟ می خواهیم معادله ی را حل کنیم. حل:

ازطرفی: ملاحظه می کنیم دو جوابی که بدست آمده اند بطورخالص نه حقیقی و نه موهومی به شمار می روند. لذاچنین اعدادی را در گروه اعداد مختلط جای دارند. یک عدد مختلط به صورت زوج مرتب :z=(x,y) معرفی می شوند.x: مولفه حقیقی و y: مولفه موهومی نام دارد. اعداد مختلط را می توان بصورت روبرو نشان داد: z=x+iy   مزدوج آنر بصورت روبرو نشان می دهیم:

z=x-iy

هرگاه مولفه های دو عدد مختلط دو به دو برابر بود؛آنرا؛دو عدد مختلط برابرنامیده می شود.